Вооружившись этими полезными знаниями, мы можем перейти к тому, что считается наиболее развитой частью современной логики. Таковой считается логика высказываний (пропозициональная логика), являющаяся основой всего, здания символической логики.

Главным предметом изучения логики высказываний являются простые высказывания типа:

«Мистер Твистер был не хилым министром»] «Число три больше числа два»] «На Луне живут лунатики»; «Крокодилы летают очень низко»;

«Буратино — автор известной кинокартины «Последний день парламента»; «Марсианские рудокопы — хронические забастовщики».

Эти высказывания показывают, что они вовсе не обязательно должны быть истинными с точки зрения здравого смысла рядового обывателя с правильно работающими мозгами, то есть логики обычно не обращают внимания на смысловое содержание высказываний, имеющее для них внелогический характер. Глубоко теоретический вопрос о сущности низко летающих крокодилов, уволенных со службы в зоопарке в связи с внеочередным сокращением штатов, должен волновать в лучшем случае зоологов-любителей с дошкольным образованием, но никак не логиков с высшим образованием. Логическая наука интересуется весьма своеобразно понимаемой истинностью или ложностью высказываний. Она мужественно абстрагируется от конкретных обстоятельств, от содержания научных и паранаучных высказываний, предпочитая с олимпийским спокойствием иметь дело с идеализированной картиной реальной или вымышленной действительности. Ее ученые мужи, конечно, несколько удивятся, узнав, что на какой-то далекой планете крокодилы действительно могут летать, но... очень низко, охотясь за мухами и комарами. Однако, как логикам, им этот потрясающий факт безразличен. В данном случае следует хорошенько себе уяснить и запомнить, что логики, как правило, занимаются анализом высказываний безотносительно к их связям с выражениями естественного языка, то есть занимаются тем, что принято называть исчислением высказываний, хотя, между нами говоря, никакими исчислениями или вычислениями они на самом деле не занимаются и не пытаются заниматься. Высказывания для них выступают в роли своеобразных языковых (знаковых, символических) объектов, наподобие объектов алгебры, с которыми работают по определенным правилам построения и преобразования этих объектов в другие объекты. Слово «исчисление» здесь используется не в собственном смысле, так как логики — не бухгалтеры и не занимаются калькуляцией «истин», а в указательно-иносказательном смысле, отмечающем связь логики с математикой.

По отношению к логическим формулам, как и относительно формул алгебры, важно уметь обнаруживать сходство и различие представляемых объектов, чтобы правильно осуществлять доказательства, доводя их до заключительной стадии, позволяющей сделать вывод о решаемости (разрешимости) или нерешаемости (неразрешимости) определенной задачи. Методы, используемые для этих целей, подразумевают прежде всего изучение различных способов представления в нашем поле сознания абстрактно-теоретических объектов.

Помимо всего прочего в логике высказываний абстрагируются от составных частей и структуры простых высказываний, но это не означает, что в других разделах логики наблюдается аналогичное.

Для высказываний вводятся соответствующие переменные, называемые пропозициональными (высказывательными) переменными. Они обычно обозначаются строчными буквами латинского алфавита (а, Ь, с и т. д.).

Надо заметить, что среди терминов и символов, встречающихся в математике и логике, мы различаем переменные и постоянные. Например, в математике мы встречаем такие постоянные термины, как: «три» (3), «сумма» ( + ) и т. д. Каждый из этих терминов имеет точно определенное значение, считающееся неизменным в ходе математических рассуждений.

Переменные, в противоположность постоянным, не обладают константным значением сами по себе. Согласитесь, совершенно нелепо звучит вопрос: является ли х столицей шахматного мира? Но зато вполне уместен вопрос: являются ли Васюки столицей шахматного мира?

Ввиду того, что сами по себе переменные не имеют значения, то выражение вида «х есть столица шахматного мира» не может являться высказыванием в логическом смысле, хотя в грамматическом плане оно имеет форму высказывания. Что из этого следует?

Из этого следует, что под логическим высказыванием понимается строго определенное утверждение, которое может быть доказано или опровергнуто. Например, если мы заменим в выражении «х есть выдающийся ученый» х словом «баран» или «мухомор», получим ложное высказывание («Баран есть выдающийся ученый» или «Мухомор есть выдающийся ученый»), но в результате замены х именем «Ньютон» получим истинное высказывание («Ньютон есть выдающийся ученый»).

Как уже отмечалось, выражения, содержащие переменные и превращающиеся в высказывания при замене этих переменных постоянными, называются по-разному: пропозициональными функциями, высказывательными функциями, функциями-высказываниями и т. д.

Помимо замены переменных постоянными есть еще и другой способ, посредством которого из пропозициональных функций могут быть получены соответствующие высказывания. Рассмотрим следующую алгебраическую формулу: (х -I - у)2 = х2 - I - 2ху + у2.

Говоря языком логики, мы имеем дело с пропозициональной функцией, содержащей переменные х и у, которым удовлетворяют произвольные пары чисел, то есть какими бы численными постоянными мы ни заменяли х и у, полученная формула всегда будет истинной. Таким образом, для всех чисел, символически обозначаемых х и у, истинно будет, что (х + у)2 = х2 + 2ху + у2.

Рассмотрим теперь пропозициональную функцию вида х > у. Если вместо х подставить 10, вместо у — 9, получится истинное высказывание. Но если вместо х подставить 12, а вместо у — 13, получится ложное высказывание. Следовательно, этой формуле не может удовлетворять любая пара чисел. Поэтому применительно к нашей формуле точнее будет говорить так: для некоторых чисел х и у справедливо, что х > у. Или: существуют числа х и у такие, что х > у.

Выражения вида «для всех х, у, ...» или «существуют х, у, ... такие, что...» называются кванторами.

Quantum, quantity — количество. Quantify — определять количество. Quantifier (квантор) — отглагольное существительное.

Кванторы (логические операторы) указывают на количественную характеристику значений той или иной переменной, для которой соответствующее высказывание истинно.

В данном случае мы имеем дело с двумя кванторами — универсальным, или квантором всеобщности («для всехх, у, ...»), и экзистенциальным, или квантором существования («существуют х, у, ... такие, что...»).

Высказывания, содержащие переменные, — это общая форма многих логических высказываний, которую называют логической формулой. Если подстановка какого-либо значения переменной в логическую формулу превращает ее в истинное высказывание, то говорят, что данное высказывание истинно для всех значений х. Выражение «истинно для всех значений х» обозначается так: Vx. Символ V называется квантором всеобщности. Этот символ, служащий аналогом слова «все», представляет собой перевернутое латинское А, напоминающее о немецком слове «alle» (все) или об английском слове «all» (все).

Если только некоторые значения переменной превращают логическую формулу в истинное высказывание, то говорят, что высказывание истинно для некоторых значений х, то есть существуют некоторые значения х, при которых высказывайие истинно. Символически это записывается с помощью квантора существования 3 в виде 3 х. Этот символ, служащий аналогом слова «существовать», представляет собой повернутую в противоположном направлении латинскую букву Е. Данная буква напоминает о немецком слове «existieren» (существовать) или об английском слове «to exist» (существовать).

Хотя в повседневной речи мы не пользуемся переменными и кванторами, но тем не менее в естественных языках встречаются их эквиваленты. Например, в русском языке имеются слова, близкие по своим функциям кванторам. Это: все, всякий, любой, никакой, некоторый и т. д. Так, выражение «Некоторые люди хитры» имеет примерно такой же смысл, что и высказывание «Существует х такой, что х является человеком и хитрым».

Благодаря кванторам пропозициональные функции автоматически превращаются в высказывания, а переменные лишаются своей свободы, то есть становятся связанными переменными (кажущимися переменными). Там, где кванторы отсутствуют и мы имеем дело только с пропозициональной функцией, переменные называются свободными или несвязанными переменными.

Переменные и кванторы играют исключительно важную роль в формулировке математических теорем. Что касается переменных, то смело можно сказать: их изобретение составляет поворотный пункт в истории математики, а в дальнейшем и логики.

Внутри логики высказываний различают двузначную и многозначную логику. Двузначная логика оперирует только двумя значениями, которые условно именуют истина и ложь, но могут именовать и по-другому (например: белое / черное, красивое / уродливое, кружка пива / кружка кваса, 1/0, 0/1 и т. д.).

Следует постоянно помнить, что в логике священное для философов слово «истина» часто употребляется отнюдь не в священном смысле, а лишь для совершенно условного обозначения логического свойства: либо истинно, либо ложно (либо включено, либо выключено; либо любит, либо не любит; и т. д.). Если же высказывание логически ложно, оно, как говорят логики, имеет значение истинности ложь. Хотя последнее звучит непривычно, но тут уж ничего не поделаешь, приходится привыкать к своеобразию логической терминологии.

Конечно, кого-то может очень смутить выражение «значение истинности» применительно к слову «ложь». Люди обычно различают истину и ложь, а здесь мы имеем дело с каким-то довольно странным словосочетанием. Эта странность кажущаяся. Вспомним великого немецкого математика и логика Давида Гильберта (1862 — 1943), который, полушутя-полусерьезно говорил своим коллегам о возможности замены в математике слов «точка», «прямая», «плоскость» словами «стол», «стул», «пивная кружка». В его шутке есть доля правды. Дело в том, что математические символы и термины зависят не от ассоциаций обычного человека, а от выбора аксиом и определений. Так, если мы определим математическое поведение пивной кружки как поведение геометрической точки, то математики вскоре перестанут обращать внимание на несколько неудачный выбор выражения и непривычное станет привычным.

В свое время известный немецкий математик и логик Эрнст Шрёдер (1841 — 1902), стремясь избежать побочных и зачастую совершенно ошибочных психологических или философско-спекулятивных ассоциаций, связанных с употреблением слов «истина», «ложь», предложил ноль (0) в качестве знака для значения ложного высказывания в логике.

С точки зрения математической логики каждое ложное высказывание отождествляется не с ошибочным отражением действительности, а с пустым множеством. Соответственно, каждое истинное высказывание отождествляется с непустым множеством элементов, чья физическая или какая-либо иная природа не принимается во внимание. Представителю математической логики в большинстве случаев незачем знать о содержании высказываний. Ему вполне достаточно тех знаний, границы и смысл которых определяется понятийным аппаратом теории множеств. Поэтому он вполне довольствуется знаниями об условиях истинности (непустом множестве) или ложности (пустом множестве) этих высказываний (высказываний, выражающих наши знания о множествах).

Большинство истинных утверждений, относящихся к повседневной жизни, являются относительно истинными. В логике такая относительность чаще всего неприемлема. Логики предпочитают иметь дело с абсолютными истинами. Истинное и ложное употребляется ими в смысле возможной логической оценки суждений, которые представляются нам как носители некоторого смыслового содержания, облаченного в знаковую форму, точнее, в форму высказывания. В логике высказываний смысловое содержание высказываний жестко ограничивается тем, что логики называют истинностным значением, не вкладывая в это понятие философский смысл.

Если высказывание логически истинно, оно имеет значение истинности истина. Это положение не вызывает сомнения у неспециалистов, хотя на самом деле оно далеко не бесспорно, что быстро обнаруживается, когда логики начинают «издеваться» над здравым смыслом.

Вместо «Высказывание р истинно» или «Высказывание р ложно» можно сказать: «Высказывание р имеет истинностное значение истина» (или: «Высказывание р имеет истинное значение истинности»)] «Высказывание р имеет истинностное значение ложь» (или: «Высказывание р имеет ложное значение истинности»). Для истинностного значения (значения истинности) истина может использоваться в качестве метки русская буква и (и) или математический символ 1, а для истинностного значения (значения истинности) ложь — русская буква л (л) или математический символ 0.

Логика высказываний требует, чтобы для каждого высказывания выполнялось условие его истинности или ложности. Тем самым закладывается фундамент так называемой логической семантики, то есть той предметной области логики, которая позволяет осуществлять процедуры интерпретации языковых конструкций логики.

Интерпретация в логике высказываний — это (функциональное) отображение, сопоставляющее каждому элементарному высказыванию некоторое значение истинности. Интерпретация, при которой истинное значение логической формулы есть «истина», называется моделью этой формулы. Интерпретация определяется разбиением множества значений истинности на два подмножества высказываний — истинных и ложных, каждое из которых содержит элементы из пары противоположных друг другу высказываний (истина и неистина (ложь)).

Чтобы охватить некой общей схемой все разновидности простых единичных высказываний (высказываний о единичном), описывающих отдельные предметы или указывающих на них с помощью соответствующих единичных имен, вводится форма ^(х), где х — переменная для единичного имени, - символическое обозначение свойств данного индивида. Таким образом, ^(х) — это функция высказывания (пропозициональная функция), включающая переменную, подстановка на место которой постоянного значения дает собственно высказывание. Например, если х — лимон, - желтый, мы будем иметь высказывание типа: «Лимон желтый».

В логике все отдельные строчные буквы (р, д, г,...), символизирующие переменные, а также их комбинации, представляющие собой форму высказываний, являются логическими функциями высказываний. Запись этих функций называется формулой. Другими словами, логической функцией высказываний будет выражение, полученное в результате конечного числа шагов, записанных в символах логической алгебры высказываний.

Эта точка зрения на формулы высказываний вполне согласуется с законами элементарной алгебры. Разница состоит лишь в том, что в элементарной алгебре рассматриваются числовые функции, а в логике высказываний — логические функции.

Логическая функция высказываний выражает логический закон тогда, когда она принимает истинное значение при всех возможных комбинациях значений переменной. Проверка того, выражает ли данная функция логический закон, осуществляется с помощью так называемой таблицы истинности.

Табличный (матричный) метод проверки формул логики высказываний освобождает исследователей от необходимости строить аксиоматические системы, в которых теоремы обосновываются путем выведения их из системы аксиом. Кроме того, данный метод является важнейшим методом интерпретации в логике исчисления высказываний.

Табличный метод проверки логических формул предполагает знание логических союзов, превращающих простые высказывания в сложные.

Если, допустим, простое высказывание истинно тогда и только тогда, когда оно утверждает существование некоторого безусловного факта, имеющего место в действительности (например: Земля обращается вокруг Солнца), то ответ на вопрос об истинности сложного высказывания требует не только учета фактов, но и рассмотрения смысла логической связки, при помощи которой это высказывание было образовано. С учетом этого необходимо рассмотреть логические союзы (связки), использование которых определяет название сложных высказываний.

В грамматике сложное предложение, составные части которого объединены оборотом если то называется условным предложением. В логике его аналог называется импликацией (лат. ЬпрЦсайо — сплетение, переплетение) или условным высказыванием. С помощью союза если то... в естественном языке обычно выражают тот факт, что одно явление служит основанием (условием) для другого.

В логике часть высказывания, которому предпослано выражение если, называется антецедентом (предыдущим), а другая часть, начинающаяся с выражения то, называется консеквешпом (последующим).

Поскольку логики стремятся избегать всяких двусмысленных аналогий, они предлагают рассматривать импликацию как вполне осмысленное высказывание даже в том случае, когда не существует никакой смысловой связи между двумя простыми высказываниями, образующими единое целое — сложное высказывание. Например: «Если пингвины осенью летят на юг, то Волга впадает в Каспийское море». Здесь грамматический оборот если то... провоцирует нашу мысль на решение внелогических проблем (например: зависит ли впадение великой русской реки Волги в Каспийское море от осеннего перелета нелетающих пингвинов?). Поэтому логики с ироничной улыбкой формулируют внешне нелепый вопрос об импликации примерно так: Если 2 + 2 = 5, то не является ли круглое квадратным'?

Для чего требуются эти шокирующие вопросы?

Разумеется, не для того, чтобы отвратить от «страшных тайн» логики здравомыслящих людей. Просто логики хотят в очередной раз подчеркнуть, что в логике высказываний (пропозициональной логике) содержание высказываний не имеет никакого значения, кроме того, которое задано в рамках используемой логической семантики (моделей интерпретации).

Замечу, что оборот если то... часто используется в языке науки. Наиболее употребим он в математике, чьи теоремы тяготеют к форме импликаций.

Логическая операция импликации чаще всего обозначается символом —>, который называется на языке логики функтором. Символическим изображением импликации, состоящей из простых высказываний р и д, будет р —> д. Выражение р —> д может читаться так: р имплицирует д; р включает д; всегда, если р, то д; если р, то д.

Еще раз во избежание путаницы подчеркну, что логическое высказывание вида р —> д не всегда совпадает по смыслу с выражением естественного языка типа если то... . Вот почему целесообразно читать сложное высказывание вида р —> д не как если р, то д, а как р имплицирует д и понимать данную операцию только под углом зрения соответствующей таблицы истинности или соответствующих аксиом и определений.

В умозаключениях повседневной жизни и в науке мы пользуемся только такими импликациями, в которых предыдущий член (антецедент) и последующий член (консеквент) связаны по содержанию и по форме. Например: Если идет радиоактивный дождь, то берите свинцовый зонтик, выходя на улицу. Или: Если эксперимент по выращиванию гомункулусов в пробирке будет успешным, то гипотеза об оных подтвердится. Импликации же, в которых нет этой содержательной связи, обычно не представляют для нас интереса, кроме, быть может, специалистов по психическим патологиям. - Логики же, силясь прояснить логические характеристики связок (так называемых логических союзов), идут на значительные упрощения и отвлекаются от содержания высказываний. Впрочем, ничто человеческое им не чуждо, и поэтому они не страшатся заглядывать в содержание высказываний на естественном языке, особенно если речь идет о первых шагах обучения сложному логическому искусству. Рассмотрим вместе с ними следующий пример: Если пиво отпускается только членам профсоюза, то остальные граждане города Арбатова удовлетворяются кислым квасом.

Предположим, что все обстоит именно так, как об этом заявлено. Тогда наша импликация истинна. Если же пиво, вопреки предписанию, отпускается не только членам профсоюза, то наше заключение ложно. Может оказаться и так, что, несмотря на строжайший запрет продавать пиво нечленам профсоюза, городские власти могут издать мудрый указ о премировании кружкой пива некоторых нечленов профсоюза за их пчелиное трудолюбие. В результате этого директивного решения высказывание оказывается истинно и в том случае, когда общее предписание относительно пива не имеет абсолютно жесткого характера. Наконец, если пиво и квас отсутствуют и все пьют водопроводную воду, то нет никаких нарушений предписания и повода для начальственного гнева. Следовательно, предписание действует, хотя и не выполняется в силу объективных причин.

Таким образом, мы видим, что наша импликация может оказаться ложной только тогда, когда посылка (антецедент) истинна, а заключение (консек-вент) ложно. В трех остальных случаях импликация истинна. Говоря более строго, импликация является ложной тогда и только тогда, когда ее посылка истинна, а заключение ложно.

Запишем все четыре случая следующим образом:

Если р = 1 (и) и д = 1 (и), то ( р -> д) = 1 (и);

Если р = 1 (и) и д = 0 (л), то ( р -> д) = 0 (л);

Если р = 0 (л) и д — 1 (и), то ( р -> д) = 1 (и);

Если р = 0 (л) и д = 0 (л), то ( р -> д) = 1 (и).

Рассмотренный пример с импликацией демонстрирует один из возможных типов логических связей между высказываниями. Знание этих связей нам необходимо, если мы для решения теоретико-познавательных и научно-практических задач стремимся разнообразить наш исследовательский инструментарий в виде соответствующих логических систем.