Для измерения направленных отрезков используются наряду с положительными числами отрицательные числа. С этой целью прямой, на которой располагаются направленные отрезки, тоже придается некоторое направление.

Алгебраической величиной направленного отрезка на данной прямой называется его длина, измеренная в определенном, заданном масштабе и взятая со знаком - I - (плюс), если направление отрезка совпадает с направлением прямой, или со знаком — (минус), если направление отрезка и направление прямой противоположны.

Направленные отрезки применяются в задачах, связанных с движением. Перемещение за некоторый промежуток времени точки, движущейся по прямой линии, целесообразно рассматривать как направленный отрезок. Алгебраическая величина этого отрезка называется алгебраической величиной пути, или величиной перемещения точки. Величина перемещения двигающейся точки может быть как положительной, так и отрицательной.

Задача. Автомобиль, едущий по дороге с постоянной скоростью V км/час, проехал через центр города Арбатова (А) в 0 часов. Где находится автомобиль в момент времени £ часов?

2 Вектор (от лат. vector — везущий, несущий) — прямолинейный отрезок, которому придано определенное направление. Этот отрезок имеет началом точку, из которой он выходит, а концом служит точка, в которую он приходит. О векторе можно говорить как о величине, которая характеризуется не только числовым значением, но и направлением (например: действие силы, скорость и т. д.).

Решение. Условимся считать, что дорога пролегает с севера на юг. Рассмотрим ее как числовую ось, направленную с севера на юг, а автомобиль — как точку, равномерно двигающуюся по этой оси. За начала отсчета примем центр города Арбатова. Координату автомобиля обозначим буквой s. Поскольку автомобиль проходит за один час v километров, за t часов он пройдет v х t километров. Следовательно, s = v х t.

Эта формула выводится с учетом того, что v и t — положительные числа. Однако по смыслу задачи v и t могут иметь и отрицательные значения.

Условимся считать скорость равномерного движения отрицательной, если движение осуществляется в направлении, противоположном выбранному направлению прямой.

Условимся и время считать отрицательным, если речь идет о времени, предшествующему моменту времени, принятому за начало отсчета.

Таким образом, и температура воздуха, и скорость или время движения автомобиля, и многое другое могут изменяться в двух противоположных направлениях от некоторого значения, принятого за начала отсчета. Например, при измерении времени относительно некоторого момента, принятого за начало отсчета, целесообразно считать положительным время событий, происшедших после начала отсчета, и отрицательным — время событий, происшедших до начала отсчета. Это делает возможным и удобным использование отрицательных чисел для измерения в направлении, противоположном тому, в котором результат измерения оценивается в качестве положительного. Кроме того, это позволяет использовать знаки плюс (+) и минус (—) для маркировки сугубо логико-математических и методологических процедур, как в случае с анализом и синтезом. Например, анализ можно рассматривать (по аналогии с отрицательными числами) как некую отрицательную ценность (стоимость, значимость, весомость), указывающую направление движения исследовательской мысли, а синтез — как некую положительную ценность (стоимость, значимость, весомость), не привнося при этом в слова «отрицательный» и «положительный» никаких эмоционально-психологических моментов.

Если ограничиться процедурно-логической характеристикой анализа и синтеза, то можно сформулировать следующее правило: синтез — это анализ со знаком плюс или с двумя знаками минус (минус на минус дает плюс), то есть синтез — это своеобразный анализ в квадрате.

Говоря языком математики (по аналогии с абсолютной величиной), абсолютной весомостью (ценностью, стоимостью, значимостью) анализа называется противоположный ему синтез. Например, как в математике абсолютная величина числа 7 равна 7, а величина —7 тоже равна 7, так и в логике синтез равен самому себе, а анализ равен синтезу, но только при условии их одинаковой весомости (ценности), то есть при условии их применения к одному и тому же предмету. Из этого следует, что синтез нельзя целиком и полностью сводить к анализу или растворять в анализе. Метод анализа, используемый для расчленения некоего целого, — это прежде всего именно расчленение, разложение, поэтапное движение от сложного к простому, от целого к его компонентам. Анализ будет только тогда действительно анализом, когда мы способны будем возвратиться назад к целому, то есть будем способны осуществить синтез расчлененных компонентов. Такого рода анализ не только разъединяет, изолирует, но и соединяет, указывая на взаимную связь моментов, этапов анализа.

Предлагаемая трактовка анализа и синтеза согласуется с использованием этих понятий в химии, что служит дополнительным аргументом в пользу данной трактовки.

В конце XVIII веке французским химиком Ж. Л. Прустом (1754—1826) были осуществлены количественные исследования состава различных веществ. Эти исследования привели ученого к выводу, известному под названием закона постоянства состава и гласящему: «Каким бы путем не было получено данное химическое соединение, состав его всегда остается одним и тем же».

Закон постоянства состава явился результатом многократных анализов различных химических соединений. Однако состав химического соединения можно установить не только путем анализа, но и путем синтеза. Так, при разложении воды электрическим током примерно на одну весовую часть водорода всегда получается восемь весовых частей кислорода. И наоборот, если смешать водород и кислород в отношении 1 : 8 по весу и вызвать взрыв смеси, то эти газы соединятся без остатка. Если же одного из газов взять больше, чем в указанной пропорции, то его избыток не войдет в соединение. Таким образом, синтез подтверждает результаты анализа.

Опыт химиков полезен для нас тем, что экспериментально-опытным путем подтверждает следующее: цена, которую мы «платим» за анализ, не должна быть выше или ниже цены синтеза, то есть весомость анализа и весомость синтеза должны быть одинаковыми.

Предлагаемая трактовка анализа и синтеза наиболее приемлема для математики и логики. Но применима ли она к естественнонаучному познанию? Ведь любому ученому хорошо известно, что в эмпирических, опытных науках процесс индукции (процесс получения обобщенных знаний об эмпирических данных 3) никогда не бывает вполне надежным, а следовательно, трудно быть уверенным в том, что анализ и синтез окажутся «технологически» равноценными. В связи с этим давайте еще раз обратимся к химическому закону постоянства состава (закону постоянных отношений).

Допустим, мы выполнили 100 анализов воды посредством соответствующего взвешивания водорода и кислорода, полученных при электролизе воды, взятой из различных источников. В результате нами было установлено одинаковое соотношение между водородом и кислородом в пределах известной точности проведенных опытов. С полным на то основанием мы делаем вывод, что вода из разных источников содержит кислород и водород в одинаковых весовых отношениях. На этом можно было бы поставить точку. Однако серия более скрупулезных научных экспериментов с водой убедительно свидетельствует, что открытая закономерность не всегда соблюдается, особенно в тех случаях, когда взвешивание выполняется с более высокой точностью. Этот факт был установлен в 1929 году Уильямом Ф. Джиоком, открывшим, что существуют три вида атомов кислорода с различными массами (изотопы кислорода). Несколько позже Гарольд С. Юри обнаружил, что существуют два вида атомов водорода с разными массами (изотопы водорода). Естественно, был сделан новый вывод, а именно: вода, состоящая из молекул, построенных из водородных и кислородных атомов различного вида, должна содержать водород и кислород в разных весовых отношениях. Так возникла необходимость пересмотреть закон постоянства состава с тем, чтобы учесть существование изотопных видов атомов.

Следует ли на основе этого пересмотреть предлагаемую трактовку анализа и синтеза?

Нет, не следует, поскольку расширение и углубление наших знаний об окружающем мире не изменяет общего методологического смысла анализа и

3 Индукция (лат. шс1ис1;ю — наведение) — в традиционной формальной логике, восходящей к античности, под индукцией понималась такая форма мышленияя, посредством которой мысль наводится на какое-либо общее правило, общее понятие. В современной логике под индукцией понимается процесс получения вероятного знания с учетом возможных ошибок при индуктивных умозаключениях (выводах).

синтеза. Научный метод более универсален, чем наши технические возможности и конкретные методики того же анализа или синтеза.

Понятие анализа можно уточнить посредством исключительно важного для логики понятия вывода. Говоря иначе, анализ вооружает нас правилами вывода, особенно необходимыми тогда, когда мы выводим индивидуальные различия конкретных явлений из знания об управляющих ими общих законах.

В школе нас учат решать математические задачи посредством поэтапных действий (действие первое, второе и т. д.). Эти поэтапные действия называются в математике пространством состояний (решаемой задачи).

Пространство состояний всегда имеет ориентацию, определенную направленность (начальное состояние —» конечное состояние). Иначе оно не было бы пространством состояний.

Ориентация (направленность) пространства состояний помогает нам преобразовывать одно состояние в другое, то есть переходить от одного действия решаемой задачи к другому действию. Такого рода преобразование осуществляется согласно определенному правилу, называемому оператором преобразования.

Все сказанное об анализе и синтезе в полной мере применимо к логике как науке о выводах.

Грамматика естественного языка имеет вполне аналитический характер в том смысле, что выражения естественного языка разлагаются нами на не поддающиеся дальнейшему разложению компоненты. При построении же логического языка мы движемся в обратном направлении, то есть берем совокупность исходных символов, а затем определяем различные категории выражений и свойства этих выражений в терминах исходных символов. Хакое движение логической мысли соответствует выше указанному понятию синтеза. Следовательно, логический вывод имеет не аналитический, а синтетический характер.

Что все это значит применительно к понятию?

Это значит, что процесс образования абстрактных понятий (процесс абстрагирования) протекает в рамках сложной аналитико-синтетической деятельности, которая не только разлагает целое на его составные элементы, но и соединяет данные элементы, следуя логическим правилам и законам, хотя далеко не всегда эти правила и законы ясно осознаются.

Так истолкованные научные понятия коренным образом отличаются от слов обычного языка и от научных терминов. Знания и значения — разные «вещи». О научном понятии точнее было бы говорить как о концепции, выраженной многими словами и закрепленными многими терминами. Собственно говоря, в данном случае мы имеем дело скорее с пространным научным текстом, именуемым концепцией (от лат. conceptio — понимание). Если эта концепция имеет конкретную интерпретацию, то она превращается в апробированную теорию.

В связи со сказанным должен заметить, что в традиционной формальной логике плохо различаются понятия и слова, обобщения и значения.

Обобщающая функция слова давно не вызывает сомнений. Но, тем не менее, в значительном количестве публикаций, касающихся вопросов образования понятий, наблюдается только послушная констатация этого факта или малосодержательные рассуждения, что чревато упрощением и даже искажением реальных процессов обобщений в обычной жизни и особенно в науке.

Чем это грозит?

Объясню на следующем примере, красочно иллюстрирующем, что может произойти в том случае, когда люди возводят свои наивные представления в ранг политических догм и считают приверженность этим догмам верхом гражданского патриотизма. Речь пойдет об одном злополучном происшествии, описанном известным чешским писателем Ярославом Гашеком в его книге «Похождения бравого солдата Швейка».

Как читателю известно, сверхосторожный пан Паливец, владелец трактира «У чаши», получил десять лет тюрьмы по приговору военного трибунала за оскорбление священной особы Государя Императора. Перед этим на вопрос агента тайной полиции Бретшнейдера, куда подевался ранее висевший в трактире портрет Государя Императора, пан Паливец ответил, что на портрет гадили мухи и его пришлось убрать на чердак. Этого было достаточно, чтобы Бретшнейдер с победоносным видом мог провозгласить, что трактирщику дорого обойдутся слова, будто на Государя Императора гадили мухи.

Если портрет императора рассматривать как некоторое «имя», замещающее в трактире и других присутственных местах отсутствующего там в данный момент Франца-Иосифа I, то, доводя до абсурда пороки вульгарных трактовок языка, можно поставить вопрос: куда гадили мухи — на значение «имени» или на самого Франца-Иосифа I? Займи мы позицию тайного агента полиции Бретшнейдера, нам придется, вопреки элементарной жизненной логике и здравому смыслу, выводить на чистую воду таких «антипатриотов», как хозяин трактира «У чаши». В недавней нашей истории бывало и похлеще.

Подобные абсурдные умозаключения и поступки неизбежны, если последовательно проводить линию на отождествление понятия и слова, знания и значения, да к тому же пользуясь теорией замещения в ее примитивной брет-шнейдоровской трактовке.

Какую ценность для методологии научного познания и логики могут представляют эти курьезы?

Вполне определенную, поскольку логика в своих построениях так или иначе отталкивается от существующих научно-теоретических трактовок естественного языка и его функций. Если это не учитывать, логическая наука рискует оказаться в плену у отживших идей спекулятивной философии языка. Чтобы не быть голословным, приведу пример из истории термина «представление», долгое время считавшегося полноправным элементом традиционной гносеологии и формальной логики.