Символическая логика подразделяется на логику высказываний (пропозициональную логику) и логику предикатов (логику пропозициональных функций). Логика высказываний лежит в основе логики предикатов.

Если логика высказываний игнорирует структуру простых высказываний, интересуясь только правильностью связей между высказываниями, то логика предикатов сосредоточивает свое внимание именно на структуре высказываний.

В логике предикатов различают логику предикатов первой ступени (порядка) и логику предикатов более высоких ступеней (порядков).

Логика высказываний и логика предикатов первой ступени образуют элементарную логику, которая в последнее время особенно интересует специалистов по «искусственному интеллекту», занимающихся логическим программированием.

Хотя выше рассматривались кванторы в связи с характеристикой переменных, но следует подчеркнуть, что операции с кванторами имеют место только в логике предикатов, поскольку они связаны с особенностями этой логики. В логике предикатов столь велика роль кванторов, что иногда исчисление предикатов называют теорией квантификацци. Но прежде чем перейти к их рассмотрению, зададим вопрос: что такое предикат?

Ответ на поставленный вопрос частично дан в связи с критикой Фреге субъект-предикатной структуризации предложения. Немецкий ученый был совершенно прав, настаивая на том, чтобы субъект-предикатное разграничение рассматривалось не как логический, а как лингвистический феномен. Для математической логики более подходящими инструментами анализа формализованных высказываний являются не субъект и предикат, а функция и аргумент, которые не затрагивают смыслового содержания тех или иных выражений. В результате мы имеем понимание предиката как пропозициональной функции вида F(x).

Условимся называть предикатом всякую пропозициональную функцию вида F (х, х2, ... xj с любым числом л > 0 независимых переменных. Если п = 0, то предикат оказывается высказыванием (предельный случай); если п = 1, то предикат соответствует тому, что называется свойством (F, Р, ...); если п = 2, то предикат — это бинарное отношение (например: R(x, у)); если л = 3, то это тернарное отношение (например: R(x, у, z)) и т. д.

Предикаты могут считаться специфическими логическими операторами, с помощью которых из логических имен конструируются пропозиции (высказывания).

Если мы хотим построить сложную пропозициональную функцию, то для этого нам необходимо осуществить некоторые операции. В логике символы этих операций называются кванторами, а сами операции — квантификацией пропозициональных функцией.

Замечу, что идея квантификации принадлежит Г. Фреге, тогда как автором терминов «квантор» и «квантификация» является американский ученый Ч. С. Пирс (1839—1914). Символ квантора существования 3 был введен итальянским математиком Дж. Пеано (1858— 1932), а первую символику для квантора всеобщности ввели известные английские философы и логики Б. Рассел (1872- 1970) и А. Н. Уайтхед (1861 - 1947), но только в 1920 году появился символ V для квантора всеобщности.

Почему логики столь большое значение придали кванторам?

Прежде всего они столкнулись с тем фактом, что имеются такие логические рассуждения, которые не обосновываются в рамках исчисления высказываний. Например:

«Всякий друг моего друга есть мой друг» — гласит очень старинная поговорка. Доктор Ватсон является другом знаменитого английского сыщика Шерлока Холмса. Следовательно, все друзья доктора Ватсона являются друзьями Шерлока Холмса.

Корректность данного умозаключения зависит не только от истинностно-функциональных отношений между входящими в него предложениями и от внутренней структуры этих предложений, но также и от понимания таких выражений, как «все», «всякий» и т. п. Чтобы сделать более прозрачной структуру сложных высказываний с выражениями типа «все», «всякий», «существует», вводятся кванторы. Например, запись 3 х F(x) означает, что «существует предмет х, обладающий свойством F». А запись V х F(x) означает, что «все х обладают свойством F».

Использование пропозициональных функций и кванторов существенно упростило и прояснило методы логического анализа, позволив точно формулировать и строго доказывать многие принципы логики, на основании которых одни высказывания можно корректно выводить из других.