Как свидетельствует научный опыт, для того чтобы увидеть научную проблему, ее надо выделить и оценить в форме гипотезы, точнее, в форме гипотетической теории, ибо, по резонному мнению современных ученых, необходимо решительно отказаться от давно устаревшей ее интерпретации (например: гипотеза как отдельное предположение в форме отдельного «предложения» или их совокупности; гипотеза как научное допущение или предположение в кратко сформулированном виде, истинное значение которого неопределенно) и рассматривать научную гипотезу как концептуальную конструкцию. Процесс же выделения и оценки начинается с того, что ставится задача сохранить прежнюю теорию, устранив противоречия, грозящие ее существованию. Для достаточно зрелой науки это обычное явление, ибо новые теории не возникают на пустом месте.

Объективная проблемная ситуация воспринимается вначале как нечто субъективное, не представляющее реальной угрозы для традиционной теории. Следовательно, в логическом плане задача предшествует проблеме, хотя в обычном плане все выглядит наоборот: проблема предшествует задаче в виде проблемной ситуации, которая сразу не осознается, но ощущается и воспринимается как временные сбои в привычной теоретической деятельности.

Взгляд на проблемность как на неотъемлемую и характерную черту активного, творческого сознания общепризнан. Положение о том, что начало деятельности познающего сознания коренится в проблемной ситуации, давно уже приобрело силу неоспоримого факта. Однако этот факт по-разному интерпретируется философ! ами, логиками, психологами. Некоторые исследователи предпочитают отождествлять «проблему» и «задачу». Вследствие подобного отождествления возникает иллюзия, будто бы устраняется трудный вопрос о механизме появления и формулировки задачи (или задач), вопрос об условиях, породивших задачу или их комплекс, решение которых, в отличие от проблем, имеет более или менее алгоритмический характер. Напомню, что алгоритм, или алгорифм, — это система операций (скажем, вычислений), применяемых по строго определенным правилам. В результате последовательного выполнения этих правил мы получаем решение поставленной задачи. Или, иначе говоря, алгоритм — это конечный набор правил, позволяющих чисто механически решать любую конкретную задачу из некоторого класса однотипных задач.

Рассматривая существующие методы решения задач, мы сталкиваемся с тем фактом, что большинство задач решается путем проб и ошибок, то есть поиск их решения осуществляется в так называемом пространстве возможных решений.

Что собой представляет решение задачи методом поиска в пространстве возможных решений?

Предположим, мы играем в шахматы. У нас имеется первоначальное состояние шахматной задачи, то есть исходное расположение шахматных фигур. Начальная и конечная (целевая) конфигурации представляют собой начальное и конечное (целевое) состояния шахматной задачи. Все эти состояния задачи, включая промежуточные, называются пространством состояний. В данном случае пространство состояний состоит из всех тех конфигураций шахматных фигур, которые могут быть образованы в соответствии с правилами шахматной игры.

Обычно говорят, что одно состояние той или иной задачи, в том числе шахматной, преобразуется в другое с помощью соответствующего оператора (правила).

Пространство состояний, достижимых из начального состояния, можно представлять себе в виде так называемого графа, вершины (узлы) которого соответствуют этим состояниям и связаны между собой дугами или ребрами, указывающими на определенные операции.

Решение шахматной игры достигается посредством метода поиска (перебора) с применением определенного оператора (правила) к начальному состоянию.

Применяя данный оператор, мы получаем новое состояние. К этому новому состоянию опять применяется оператор и т. д. Методы организации такого поиска целевого состояния удобнее всего объяснять посредством графа.

Основы теории графов были заложены известным математиком, физиком и астрономом Леонардом Эйлером (1707—1783), швейцарцем по происхождению, много и плодотворно работавшем в России. Широкое развитие теория графов получила во второй половине XX века под влиянием развития кибернетики, хотя серьезный интерес к проблематике того, что можно сегодня называется теорией графов, пробудился около середины XIX столетия. Существенное влияние на этот процесс оказали естественные и технические науки благодаря исследованию структур молекул, кристаллов и электрических сетей. Свою важную роль сыграла и логика, которая стимулировала изучение двоичных (бинарных) отношений в форме графов. В терминах теории графов относительно легко формулируются и решаются многие логико-математические задачи. Типичным примером графа служит сеть железных дорог, изображенных на географической карте, или план города, в котором так называемые ребра представляют улицы, а вершины — перекрестки. Что касается географических карт с изображением железных дорог, то здесь кружочки, обозначающие станции, являются вершинами графа, а соединяющие их пути — ребрами.

Говоря в первом приближении, граф — это определенная геометрическая конфигурация, состоящая из точек и соединяющих их линий. В данном случае не столь существенно, являются ли эти линии прямыми или криволинейными дугами, соединяющими две концевые точки. Существенно только то, что они соединяют две данные точки. *

Особой разновидностью графов являются так называемые деревья, интуитивный образ которых давно укоренился в логике и математике.

Некоторые графы принято рассматривать как деревья с корнями. Дерево с корнем — это такой граф, у которого имеется единственная вершина, называемая корнем. Из корня любая другая вершина достигается только по одному пути.

В первом и самом общем приближении дерево можно определить как граф, содержащий единственный выделенный узел, именуемый корнем, в который не входит ни одной дуги (ориентированного ребра). В любой другой узел такого графа-дерева входит одна и только одна ориентированная дуга. Узлы, из которых не выходит ни одной дуги, называются листьями. Промежуточные между корнем и листьями узлы, имеющие входящую и выходящую дуги, называются внутренними узлами. Пример такого графа-дерева приведен на рис. 1.

Чтобы описать задачу с использованием пространства состояний, мы должны знать, что представляют собой состояния в данной задаче. В связи с этим рассмотрим преобразование алгебраического выражения (ху + ) : гу в выражение х : г + 5 : у. В качестве состояний задачи здесь выступают соответствующие алгебраические выражения. Эти состояния можно описать посредством бинарных (двоичных) деревьев, используемых для представления графов. Неконцевые вершины (узлы) в таком дереве — это арифметические знаки (+, х, +), а концевые вершины (узлы) — это символы для обозначения переменных (х, у, б, г), фигурирующих в наших выражениях. Дерево, представляющее выражение (ху + ) : гу, изображено на рис. 2.

Здесь ветвь, отходящая влево от вершины, обозначенной символом дроби (-?-), представляет числитель дроби, а ветвь, отходящая вправо, — ее знаменатель. Применение законов алгебраических преобразований (операторов в пространстве состояний) приводит к преобразованию данного описания в другие описания. Задача, стоящая перед нами, заключается в преобразовании его в состояние, описываемое деревом, изображенном на рис. 3.

В данном случае операторы можно рассматривать как функции, определенные на некотором множестве состояний и принимающие значения из этого множества. Поскольку процессы решения задач базируются на работе с описанием состояний, постольку можно считать, что операторы — это функции данных описаний, преобразующие одни описания состояний в другие.

В том случае, когда граф используется для представления пространства состояний, с его вершинами связывают описание состояний, а с его дугами — операторы.

Таким образом, проблема нахождения последовательности операторов, преобразующих одно состояние в другое, эквивалентна задаче поиска пути на графе.

Часто бывает удобно приписывать дугам графа вес (весомость, важность) или стоимость (ценность), отражающую значимость применения соответствующего оператора. Ценность пути между двумя вершинами определяется как сумма ценностей всех дуг, соединяющих вершины этого пути. Если мы имеем дело с задачами оптимизации, то возникает необходимость найти путь между двумя вершинами, имеющими минимальную ценность.

Большим спросом метод построения деревьев пользуется у кибернетиков в связи с программным представлением задач, решаемых сведением к подзадачам, а также для моделирования строго формальным образом различных игр (скажем, шахматных).

По мнению кибернетиков, поиск решения задач с помощью графов приводит к удобному представлению этих задач только в том случае, когда имеются соответствующие эвристические (от — нахожу, отыскиваю, открываю; приемы и методы получения нового знания, часто плохо формализуемые или формализуемые с большим трудом) функции, помогающие осуществлять данный поиск, и эффективные способы выделения подзадач. Формально-логический анализ поиска на графе решения интересующей нас задачи дает возможность установить определенные требования, предъявляемые к эвристической функции или способу определения подзадач.

Эвристические функции и методы определения подзадач неизбежно зависят от характера решаемой задачи. Так, метод, хороший в одном случае, может оказаться совершенно неподходящим в другом случае. Поэтому необходимо иметь инструментарий не только для анализа внутренней структуры решаемой задачи, но и для классификации самих задач, а это предполагает нетрадиционную точку зрения на понятие «задача», позволяющую отличать задачи от проблем, формулировать по-новому условия задачи и т. п. Здесь мы выходим на уровень теории и методологии научного познания.

Научный опыт показывает, что решение задач при определенных условиях может привести к отчетливой формулировке проблемы в виде гипотезы. В качестве иллюстрации сказанному рассмотрим феномен коперниканской революции.

К началу XVI столетия католическая церковь была озабочена определением дня Пасхи. Пасхальное воскресенье — это первое воскресенье после первого полнолуния, наступающего после дня весеннего равноденствия. Задача сводится к определению дня весеннего равноденствия.

Эта задача довольно успешно решалась в геоцентрической системе мира древнегреческого астронома Клавдия Птолемея (ок. 90 — ок. 160 гг. н. э.), разработавшего математическую теорию движения планет вокруг неподвижной Земли, позволявшую предвычислять их положение на небе. Однако к началу XVI столетия вследствие использования данной системы накопились досадные погрешности, увеличивающие ошибку в определении дня весеннего равноденствия. За решение задачи брались многие ученые, в том числе и польский астроном Николай Коперник (1473—1543).

Перед Коперником и другими европейскими астрономами стоял чисто технический вопрос в виде достаточно ясно сформулированной задачи, предполагающей определенные методы ее решения в рамках уже существующей теории.

Решая поставленную задачу, Коперник выполнял вполне определенный социальный заказ, обусловленный той проблемной ситуацией, в которой оказалась католическая церковь в связи с необходимостью уточнения дня Пасхи. Поэтому дерзкое утверждение об обращении Земли вокруг Солнца получилось у него как промежуточное следствие решения узко конкретной задачи, а не потому, что он якобы пытался ниспровергнуть теорию Птолемея и тем самым крепко насолить церковным ортодоксам.

Таким образом, возникновение коперниковской теории не зависело от той проблемы, которую она невольно ставила и решала. Более того, сама проблема могла быть сформулирована лишь тогда, когда теория (гипотетическая концепция) была уже создана. Парадоксальная, но вполне реальная для науки ситуация: начинать не с проблемы, а с задачи или задач, порожденных объективной проблемной ситуацией. Решая эти «решаемые» задачи или задачу, мы можем получить неожиданные теоретические результаты, свидетельствующие о наличии проблемной ситуации.

Обычно анализом такого рода парадоксальных ситуаций в науке занимаются гносеологи и методологи. Но с недавних пор к ним подключились и логики. Чем это было вызвано?

Все дело в том, что наши научные рассуждения о закономерностях объективного мира опираются на некоторую логику вывода одних фактов из других. Многочисленные логические системы, начиная с аристотелевской и кончая современными неклассическими, формализовали и продолжают формализовать множество различных логических рассуждений, чтобы облегчить и эффективи-зировать процесс получения истинного знания. Однако в ряде случаев это требует настолько большого объема рутинной работы, что отпадает всякое желание браться за осуществление подобной работы. И тут на помощь человеку приходят компьютеры. Программисты, обслуживающие их, утверждают, что они могут помочь своим коллегам из числа методологов, да и не только им, использовать современный логический инструментарий для весьма результативного анализа интересующих их вопросов, связанных с формулировкой гипотез и принятием решений в условиях, когда мы обладаем неполной или неопределенной информацией о явлениях, представляющих для нас значительный интерес. К этому добавляется, что образование гипотез сегодня является одним из разделов исследований по «искусственному интеллекту».

Таким образом, нынешние логики и кибернетики смело ставят на повестку дня вопрос исключительной научной практической значимости. Суть этого вопроса такова: можно ли рациональным образом понять природу эмпирических данных и эмпирических процессов, используя аппарат современной математической логики и статистики, чтобы попытаться создать рациональный образ наблюдаемого эмпирического мира?

Для ответа на этот вопрос необходима помощь математики и математической логики, опирающихся на определенный методологический фундамент. В данном случае предлагается проанализировать понятие «уравнение», тесно связанное с понятием «задача» в его математическом смысле.

Хотя термин «уравнение» встречается в математике на каждом шагу, тем не менее имеется довольно широкий разброс в его толковании. Здесь нам на помощь приходит теория множеств.

Пусть дано некоторое множество М. Назовем это множество областью значений неизвестного. Допустим, что некоторые элементы данного множества обладают свойством Е Задание свойства Р определяет подмножество N множества М, то есть N С М, где С — символ включения одного множества в другое.

Иногда для этих целей используется символ С, указывающий на отношение равенства двух множеств. Два или более множеств считаются равными (тождественно равными) тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Данное определение равенства можно Сформулировать иначе, используя понятие подмножества. Множество N называется подмножеством множества М или подмножеством в М (ТУ С М), если каждый элемент из N будет также элементом из М. Легко убедиться в том, что для любых множеств ТУ и М N = М тогда и только тогда, когда N С М и М С N.

В том случае когда N С М, но при этом ТУ * М, пишется N С М и считается, что N является собственным подмножеством в М.

Поскольку отношения равенства (тождества) далеко не всегда очевидны и могут вызывать довольно жаркие споры, многие математики и логики предпочитают пользоваться для указания на отношения между множествами символами С и Э вместо символов С и □.

Итак, ТУ С М означает, что каждый предмет п, принадлежащий ТУ, принадлежит и М Иными словами, для каждого п из п е ТУ, где Е — символ принадлежности (принадлежности некоего элемента некоему множеству), следует, что п Е М

Если ТУ С М, но не ТУ = М, то ТУ называют собственным подмножеством М.

Особый раздел теории множеств занимает алгебра множеств, изучающая разные операции над абстрактными множествами.

Хотя реальная природа элементов множеств не принимается во внимание в абстрактной теории множеств, тем не менее эти элементы должны обладать некоторыми свойствами, чтобы их можно было отличать от элементов других множеств. Поэтому множество можно задавать указанием характеристического свойства (признака) его элементов, то есть указанием такого свойства, которым обладают все элементы данного множества. Чаще всего это свойство формулируется словами (например: «Множество всех философски образованных поросят, страдающих манией величия»), но могут задаваться и абстрактно-теоретическим образом с учетом характера взаимосвязи их элементов.

Так как множество может содержать любое число элементов, то оно может состоять и из одного единственного элемента. Такое множество называется единичным.

Множество, каждый член которого не обладает определенным свойством, является множеством, где нет членов, облаА^ющих данным свойством. Такое свойство называется нулевым или пустым и обозначается символом 0 (или О).

Когда мы определяем множество, мы не можем знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент. Вот почему полезно рассматривать множества, не содержащие ни одного элемента, то есть пустые множества.

Существуют различные способы выделения подмножеств из универсального множества, число элементов которого может быть как конечным, так и бесконечным. Одним из таких методов является полный перечень членов множества. Можно также выделять определенное множество как совокупность всех объектов, удовлетворяющих какому-то определенному требованию.

Множество полностью определено, если можно сказать относительно любого предмета, является или не является он элементом этого множества.

В свете сказанного условимся называть уравнением способ задания множества N по свойству F его элементов. Уравнение как бы локализует область значения неизвестного х, ограничивая его множеством N. В данном случае решением уравнения будет считаться совокупность операций, позволяющих выяснить, какой элемент п из N (п Е N), обладающий свойством F, соответствует неизвестному X.

Рассмотрим следующий частный случай линейного уравнения:

(1) Ах + 5 = 13.

Это уравнение является примером линейного уравнения первой степени с одним неизвестным. Оно может быть представлено следующим образом:

(2) 4х - 8 = 0.

По поводу этого уравнения можно сказать так: уравнением первой степени с одним неизвестным х называется уравнение, левая часть которого есть многочлен стандартного вида первой степени относительно х, а правая — нуль.

Общее уравнение первой степени с неизвестным х имеет вид

(3) kx + Ь = 0,

где к и Ь — заданные числа, при этом к не равен нулю. В этом уравнении число к называется коэффициентом при неизвестном, а число Ь — свободным членом этого уравнения. Так, например, в уравнении (2) 4 — коэффициент при неизвестном, а 8 — свободный член.

Уравнения подобного вида можно решать, используя элементарные операции сложения, вычитания, умножения и деления, не прибегая к более сложным операциям.

В другие уравнения переменная (неизвестная) входит не столь простым образом. Например:

(4) sin 2 х + tg х = 1,4.

Независимо от сложности уравнения существует важное правило, гласящее, что одно уравнение определяет одно неизвестное. Это значит, что для каждого из вышеприведенных уравнений можно найти такое значение х, которое удовлетворяет данному уравнению. Впрочем, в некоторых случаях таких значений х бывает два или больше. Например, равенство х2 = 1 выполнимо при х = 1 и х = — - М. Однако для упрощения наших рассуждений подобную возможность предлагается игнорировать.

Рассмотрим теперь уравнение

(5) 7х + 5у + 10 = 37,

которое содержит две неизвестные величины х и у. Это уравнение не определяет однозначно величины х и у, поскольку мы можем придавать х и у любое значение. Например, если положить х = 1, то будем иметь у = 4, а если положить х = 2 : 7, будем иметь у = 5. Однако если мы скажем, что х и у должна одновременно удовлетворять данному уравнению, а также еще одному уравнению, то будет существовать только одно единственное решение. Например:

(6) 1) 1х + 5у + 10 = 37, 2) х + у = 5.

Для всех этих и им подобных случаев существует общее правило, а именно: для решения системы уравнений с несколькими неизвестными должно быть столько независимых уравнений, сколько имеется неизвестных. Это справедливо и для линейных, и для более сложных уравнений.

Если неизвестных больше, чем уравнений, то имеется бесконечное множество решений. Если же уравнений больше, чем неизвестных, то решений нет. Последняя ситуация чаще всего наблюдается в тех случаях, когда мы пытаемся вывести теорию из эмпирического опыта.

При построении теории, требующей согласования с эмпирическим опытом, наступает момент, когда необходимо решить, какую абстрактную форму следует придать данной теории. Американский ученыйг Роберт Р. Ньютон иллюстрирует это на следующем примере.

Допустим, некое изолированное тело движется по прямой с постоянной скоростью. Пусть х — расстояние на данной прямой от некоторой определенной точки, а £ — время движения. Тогда теория прямолинейного движения с постоянной скоростью принимает вид

(7) х = а + Ы.

Здесь а и Ь — числа, которые a priori неизвестны и которые мы должны определить из опыта. Такие числа называются параметрами теории.

Предположим, мы нашли, что х = 5 при t = 1 и х = 7 при t = 2. При подстановке измеренных величин по очереди в уравнение (7) получаем пару уравнений

(8) а + Ь = 5, а + 2Ь = 7.

Неизвестными являются параметры а и Ь. Решение будет такое:

(9) а = 3, Ь = 2.

Все эмпирические измерения обычно содержат некоторую погрешность. Соответственно, мы знаем, что полученные значения не совсем точны. Мы никогда не сможем найти абсолютно точные значения параметров, но всегда можем улучшить точность, используя дополнительные измерения.

Предположим, мы еще раз измерили х при t = 3 и нашли, что х = 10. Тогда получим уравнение

(10) а + ЗЬ = 10.

Теперь мы должны решить уравнение (10) совместно с уравнениями (8). Совершенно ясно, что решения не существует, поскольку значения (9) не удовлетворяют уравнению (10). В этом случае мы находим «наиболее подходящие» параметры. Под ними подразумеваются такие значения неизвестных, которые лучше всего удовлетворяют всему множеству уравнений, хотя обычно и не удовлетворяют в точности ни одному из них.

Имеются различные критерии, на основе которых проводится подбор наилучших параметров. Одним из широко используемых критериев является «метод наименьших квадратов». Его суть состоит в следующем.

Предположим, что А и В — наиболее подходящие для нас значения а и Ь. Подставим теперь последовательно те временные величины, в которых мы измеряли х, в уравнение (7), используя величины Ли В, которые мы, однако, еще не знаем. Таким образом мы найдем три величины: А + В, А + 2В к А + ЗВ. Тогда три погрешности в измерении величины х будут равны А + В — 5, А + 2В — 7 и Л - I - ЗВ — 10. Обозначим через а сумму квадратов этих погрешностей. В результате будем иметь

(И) а = (А + В - 5)2 + (А + 2В - 7)2 + (А + ЗВ - 10)2.

Мы называем наиболее подходящими те значения А и В, при которых а минимальна. В данном случае такими величинами являются значения А = 7 : 3 и В = 5 : 2.

Метод наименьших квадратов, дающий систему линейных уравнений, можно распространить на любое число эмпирических данных (скажем, на любое число астрономических наблюдений).

Примеров, подтверждающих все возрастающую практическую значимость союза современной логики и математики, хватает в избытке. Но сейчас они не так важны, как важно то, что характеристики логики, определения ее предметной области, представленные в некоторых учебниках, до сих пор имеющих широкое хождение, не соответствуют реальной ситуации в логической науке, не учитывают ее теоретической и практической направленности, игнорируют достижения в области методологии научного познания. Как следствие, мы имеем весьма расплывчатые рассуждения авторов подобных учебников и учебных пособий о мышлении, сознании, языке и других фундаментальных философских категориях.

Следует учитывать, что многие базисные понятия логической науки не определяются в рамках той или иной логической системы. Для их определения необходимо выйти на уровень методологии научного познания и гносеологии. Поэтому знание хотя бы самых общих основ методологии научного познания является непременным условием вхождения в современную логику.