Хорошенько запомним следующее: необходимым методологическим фундаментом теории определений является теория абстракции. Обращение к теории абстракции для нас важно еще и потому, что данная теория проливает свет на один из центральных разделов формальной логики — на учение о понятии.

По мнению многих современных философов и логиков, слово «понятие» является неопределенным и многозначным, часто вводящим нас в заблуждение.

В свое время нового взгляда на понятие требовал известный советский философ В. Ф. Асмус (1894—1975), подчеркивавший, что алогизм (отрицание логики как средства научного познания) XX столетия в лице французского философа А. Бергсона (1859—1941) и американского психолога У. Джемса (1842— 1910) зачастую принимает вид специальной критики понятий. Адвокаты алогизма в оценке познавательных возможностей понятий ясно представляли, что падение теоретического авторитета логики и интеллектуализма в целом во многом зависит от теоретических трактовок понятия. Если эти трактовки неубедительны, то под сомнение ставятся не только базисные положения логики, но и познавательная эффективность методов дискурсивного (от лат. сИвсигеиз — рассуждение), то есть рассудочного, точнее, рассудительного, логического, мышления. Закономерно, что данная критика понятия выливается в инструменталистскую (прагматист-скую) доктрину познания, согласно которой понятия науки рассматриваются только как служебные инструменты, лишенные предметного содержания.

В истории философии мы не встретим ни одной сколько-нибудь оригинальной философской системы, создатели которой, прежде чем взяться за ее конструирование, не пытались бы уточнить свои позиции по вопросу о научных понятиях и механизмах их образования.

По словам известного американского ученого Лотфи А. Заде (Ь. А. ТлйеЪ., родился в 1921 году в Азербайджане), проблемы образования понятий и абстрагирования приобрели особенно большую значимость в результате бурного развития кибернетики. Он подчеркивает, что именно наше недопонимание существа процессов абстрагирования и вытекающая отсюда неспособность научить машину осуществлять такое абстрагирование лежит в основе большого числа нерешенных проблем в области программирования.

Когда зародилась теория абстракции?

Первая европейская теория абстракции была разработана Аристотелем. Эта теория легла в основу всех последующих разработок подобного типа.

По Аристотелю, абстракция означает изъятие или опущение некоторых составных частей нашего восприятия. Мы отвлекаемся от всего случайного и приводим наши мысли к их истинной и постоянной форме. Так, математика базируется на принципе абстракции, поскольку рассматривает лишь необходимые формы без всякого отношения к материи, из которой состоят предметы.

Согласно аристотелевской теории абстракции, понятие — это определенный тип сравнения. Общие понятия образуются путем сравнения и отвлечения. Сравнивая ряд каких-либо предметов, мы замечаем имеющиеся в них черты сходства и несходства (различия). Сходные черты мы отвлекаем (абстрагируем) и фиксируем их посредством соответствующих имен различной степени общности, получая тем самым содержание понятия. Затем мы можем перейти от рассмотрения предметов, данных в непосредственном опыте, к анализу и сравнению самих понятий, образовывая еще более общие понятия.

В логике со времен Аристотеля принято различать две стороны понятия — содержание и объем. Объем понятия — это совокупность предметов, к которым прилагается данное понятие (например: философы, воины). Содержание понятия — это мыслимые признаки предметов (например: железный, квадратный). По мере увеличения объема понятия уменьшается его содержание и наоборот.

Большее по объему понятие называется родом по отношению к понятию меньшего объема (сравните: «наука» и «математика»). То, что отличает данное понятие от других смежных и более или менее одинаковых по объему, называется видовым различием (например: «физика» и «химия»).

Существуют ли самые общие, самые предельные по объему понятия?

Ответы на подобные вопросы призвано дать учение о категориях.

Аристотель полагал, что в каждом предложении сказуемое по объему шире своего подлежащего. Поэтому самый общий род он называет категорией (от гр. ка! едопа — высказываю).

Категории образуются посредством абстракции отождествления, когда сравниваются и идентифицируются (отождествляются) одинаковые свойства и отношения. Процесс абстрагирования заканчивается не по произволу, а лишь тогда, когда остается чистая родовая форма без примеси знаний материального, изменчивого.

В аристотелевской интерпретации категории — это потенциальные понятия. Задача познания — актуализировать эти потенции, сделать возможное действительным. Подобная актуализация осуществляется посредством перехода от рода к виду, от родового понятия к видовому понятию. Получается странная картина: стремясь познать единичное, мы удаляемся от истинного знания, ибо в движении от рода к виду и далее мы отходим от истинных философских знаний (знаний «первых принципов», категорий), выражая сущность все более метафорическим образом. Соответственно этому вопрос о практической реализации научных истин отпадает как бы сам собой, поскольку практика предстает в системе древнегреческих философско-мировоззренческих ценностей как извращение истины.

Для современной науки, ориентированной на практику, аристотелевские категории — пустые, бессодержательные абстракции. Они ничего не сообщают нам, как ими пользоваться. Но это не означает, что мысль Аристотеля зашла в тупик. Своей цели он достиг, показав, что все понятия могут быть сведены к ограниченному количеству категорий, в которых наиболее ярко воплощен идеалистический принцип тождества мышления и бытия, поскольку категории, по определению, являются одновременно высшими родами бытия и высшими родами оказывания об этом бытии.

По пути, намеченному и отчасти проложенному великим древнегреческим философом, пошли все остальные европейские философы, ожесточенно споря друг с другом и внося свой посильный вклад в то, что сейчас называется традиционной теорией абстракции.

Традиционная теория абстракции базируется на довольно наивном образе мира, где сходство вещей постепенно и неуклонно берет верх над их различиями.

Эти сходства, повторяясь, запечатлеваются в нашей памяти, между тем как индивидуальные различия полностью стираются. Таким образом, в основе каждого познавательного шага лежат акты отождествления.

Главные недостатки традиционной теории абстракции обусловлены не столько изъянами в логической технике, сколько спецификой философско-ми-ровоззренческих установок, в соответствии с которыми догматически постулируется наличие «особой способности духа» выделять общее, сходное, тождественное в бесконечном многообразии окружающего нас мира.

Если принять эту теории абстракции, мы столкнемся с неразрешимой проблемой: при образовании все более абстрактных понятий исчезает всякая возможность движения в обратную сторону, так как отброшенные признаки уже не учитываются в новом, более абстрактном понятии, они не оставляют и намека на способы их реконструкции.

Предвосхищая идеи нетрадиционной теории абстракции, известный немецкий астроном и математик И. Г. Ламберт (1728— 1777) указывал на следующие преимущества математических понятий. В математических понятиях не уничтожается, а сохраняется во всей своей строгости определенность частных случаев, к которым они должны быть применимы. Более того, математик в своих обобщающих формулах не только сохраняет все частные случаи, но и позволяет выводить их из этой общей формулы.

К математике, не опирающейся в своих постр'оениях на данные чувственного опыта, традиционная теория абстракции применима лишь с очень большими натяжками. В реальной действительности нельзя указать ничего такого, что имело хотя бы малейшее сходство, например, с мнимыми или иррациональными числами. Если же ее все-таки применить к объяснению подобных математических объектов, то мы, следуя логике рассуждений, будем вынуждены отказать им в реальном математическом смысле и рассматривать их как чисто условные символы.

По словам известного немецкого философа-неокантианца Э. Кассирера (1874—1945), от новой теории абстракции требуется не разобщать универсальные и индивидуальные признаки объектов, а раскрывать их внутреннюю и необходимую связь, то есть не игнорировать индивидуальные различия конкретных явлений, а выводить их из управляющих ими общих законов. В связи с этим многие гносеологи и логики указывают на необходимость отличать анализ от абстракции. Дело в том, что анализ может не переходить в абстракцию (отвлечение) и быть конкретным. Метод анализа, используемый для расчленения целого, способен в то же время возвратить нас к целому. Такого рода анализ не только разъединяет, изолирует, но и соединяет, указывая на взаимную связь моментов, на их, если угодно, «технологическую цепочку».

Анализ — главный инструмент решения разнообразных задач. Метод решения подавляющего большинства задач можно назвать составлением плана в обратном направлении (или продвижением от конца к началу). Древнегреческие геометры называли этот метод анализом, что по смыслу означает «решение от конца (конечной цели) к началу (начальному пункту достижения цели)». Если же мы продвигаемся в противоположном направлении, то такой метод решения называют составлением плана в прямом направлении (или продвижением от начала к концу), то есть синтезом.

Решение всякой задачи связано с составлением плана. Составление плана, как отмечал известный методолог науки Дж. Пойа (1887—1985), и его реализация идут в противоположных направлениях. Мы начинаем составление плана с учетом цели А и возможных действий по ее достижению. Ближайшее действие (средство) обозначим буквой Б. Мы могли бы достичь А, если бы имели сред-| ство Б (или осуществили бы действие Б). Из мысли о Б может возникнуть мысль о средстве В, а из мысли о В может возникнуть мысль о средстве Г, и т. д. Составим следующий план:

(1) А если Б,

(2) Б если В,

(3) В если Г.

Этот план можно интерпретировать так: А — место работы, Б — один вид транспорта (метро), В — другой вид транспорта (автобус), Г — место жительства (дом). Чтобы попасть на работу, я должен воспользоваться услугами метрополитена. Чтобы добраться до станции метро, я должен некоторый путь проехать на автобусе. Чтобы втиснуться в автобус, битком набитый пассажирами, я должен выйти из квартиры.

Таким образом, торжественный акт прибытия на работу предполагает довольно длинный ряд относительно самостоятельных действий, то есть, составляя план, я двигаюсь как бы вспять — от А к Г. Реализуя план, я двигаюсь в обратном направлении — от Г к А. Иначе говоря, о нашей цели мы начинаем думать в самом начале, достигаем же ее в самом конце.

По поводу синтеза, как движения от Г к А, можно сказать словами старинной поговорки: «Не хватило гвоздя — подкова пропала, не хватило подковы — лошадь пропала, не хватило лошади — дсадник погиб, не хватило всадника — сражение было проиграно». Анализ же этой поговорки будет выглядеть следующим образом:

1.0. Почему было проиграно сражение?

1.1. У всадника не было лошади, и это обрекло его на гибель.

2.0. Почему у всадника не было лошади?

2.1. Лошадь оказалась неподкованной, в результате чего не могла быть использована в битве.

3.0. Почему лошадь не подковали?

3.1. Отсутствовали гвозди для подков.

Анализ причин проигранного сражения можно продолжить, но мы ограничимся фактом отсутствия гвоздей. Этого вполне достаточно, чтобы уяснить посредством анализа не только наличие в каждой шутке доли правды, но и алгоритмические особенности анализа. Данные особенности заключаются не в прямом, а в обратном движении от предмета нашего рассмотрения. Говоря философским языком, мы как бы распредмечиваем предмет, шаг за шагом раскрываем предпосылки его становления, его генезиса (исторического или логического). Можно сказать и по-другому: анализ всегда имеет отрицательный вектор, указывающий на движение от конца (данного факта, данного результата или желанной цели) к началу, тогда как синтез имеет всегда положительный вектор, указывающий на движение от начала (предпосылок) к концу.

Так ли уж важно знать всё это?

Для повседневной жизни с ее «проснулся», «умылся», «поел», «пошел на работу», «вернулся с работы», «поел», «заснул» всё это выглядит философской фанаберией. А вот в науке с подобной «фанаберией» приходится считаться самым серьезным образом?

Почему?

Потому что наука начинается с «почему». Рассмотрим простенький школьный пример.

Почему стрелка компаса показывает направление с севера на юг?

Отвечая на этот вопрос, давайте посмотрим на другой «компас», один конец «стрелки» которого указывает на «минус» («отрицательный вектор»: анализ), а другой — на «плюс» («положительный вектор»: синтез).

Если мы выбираем «плюс», нам придется для ответа на вопрос «Почему стрелка компаса показывает направление с севера на юг?» отправиться на юг или на север, чтобы найти неведомую магнитную силу, определяющую поведение стрелки компаса. Согласитесь, что такого рода путешествие в «тридевятое царство» — далеко не лучший способ удовлетворения нашей любознательности.

Следовательно, приходится выбирать «минус».

Первый шаг в этом направлении мы делаем, вооружаясь, по совету учителя, двумя магнитными брусками, один из которых свободно подвешен на нитке, а другой находится в наших руках.

Второй шаг мы делаем, поднося северный полюс магнита к северному полюсу подвешенного магнита. При этом замечаем, что подвешенный магнит отклоняется от вертикали, словно стремясь избежать встречи со своим магнитным собратом. Факт очевиден: северные полюсы магнитов отталкиваются друг от друга.

Третий шаг мы делаем, поднося южный полюс магнита к южному полюсу подвешенного магнита. Картина аналогичная.

Четвертый шаг мы делаем, поднося северный полюс магнита к южному полюсу подвешенного магнита. Происходит совершенно обратное: подвешенный магнит отклоняется от вертикали, словно стремясь «поцеловаться» со своим магнитным собратом. Факт очевиден: северные и южные полюсы магнитов притягиваются.

Пятый шаг — вывод, а именно: одноименные-полюсы отталкиваются, а разноименные притягиваются.

Шестой шаг — ответ на главный вопрос «Почему компас показывает направление с севера на юг?» (заключительный аналитический вывод). Ответ (вывод) таков: поскольку северный конец стрелки указывает на север, постольку мы можем заключить, что где-то в этом направлении должен находиться противоположный магнитный полюс. Это дает нам вполне определенную путеводную нить для поиска источника магнитного притяжения, но здесь уже прекращается наш анализ и начинаются теоретически обеспеченные эмпирические исследования.

Теперь обратимся к математике, чтобы установить некоторую математическую аналогию с анализом и синтезом.

Со школьной скамьи известно, что часто возникает необходимость в сравнении чисел по величине. Для записи результатов сравнения используются специальные знаки: > (больше) и < (меньше). Например: 5 > 3 или 3 < 5.

Математические понятия «больше» и «меньше», распространяясь на все рациональные числа, имеют большое практическое значение в нашей повседневной жизни и в науке. Например, в зависимости от температуры воздуха на улице мы, покидая дом, надеваем пальто и шапку или, наоборот, оставляем теплую одежду на вешалке. Чем холоднее воздух, тем меньше его температура. Так, температура — 4° меньше, чем - I-1°, а температура —10° меньше, чем —Т.

Из сказанного напрашиваются следующие правила сравнения чисел:

Правило I. Любое положительное число больше любого отрицательного числа, а любое отрицательное число меньше любого положительного. Правило И. Любое положительное число больше нуля, а нуль меньше любого положительного числа.

Правило III. Любое отрицательное число меньше нуля, а нуль больше любого отрицательного числа.

Правило IV. Из двух различных отрицательных чисел меньше то, абсолютная величина 1 которого больше, а больше то, абсолютная величина которого меньше.

Во всех случаях неравенства вида а > Ь и Ь < а означают одно и то же.

Неравенство а > 0 выражает: а является положительным числом. Неравенство а < 0 выражает: а является отрицательным числом.

В ряде случаев знаком > и < бывает недостаточно. Особенно эта недостаточность дает знать о себе, когда вводятся некоторые ограничения по каким-либо границам. Для указания на данные границы используются знаки > (больше или равно) < (меньше или равно).

Кроме перечисленных знаков неравенства, используется еще знак * (не равно). Например, 7*0. Этот знак необходим в тех случаях, когда требуется подчеркнуть только неравенство двух чисел без указания на направленность данного неравенства.

Что следует понимать под направленностью какого-либо неравенства?

Для ответа на поставленный вопрос откроем книгу Ильи Ильфа и Евгения Петрова «Золотой теленок». Из этой книги мы узнаем, что через провинциальный город Арбатов проходит дорога, ведущая в город Черноморск, куда спешит герой повествования Остап Бендер со своими друзьями, чтобы хорошенько раскошелить подпольного советского миллионера Корейко.

Во время своего эпохального путешествия Остап Бендер и К° оказались невольными свидетелями автомобильного пробега Москва — Харьков — Москва. Не долго думая, благородные жулики, путешествующие на автомобиле под броским названием «Антилопа-Гну» (или просто «Антилопа»), решили принять посильное участие в борьбе прогрессивной советской общественности с бездорожьем и разгильдяйством вместе с участниками этого автопробега.

Абсолютной величиной положительною числа и числа, равного нулю, называется само это число. Абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число. Абсолютной величиной нуля является сам нуль. Например, абсолютная величина числа 7 равна 7, абсолютная величина —7 равна 7, абсолютная величина 0 = 0.

Итак, что мы имеем?

Мы имеем тот факт, что из города Арбатова выехала «Антилопа» и проехала 50 км до города Удоева, где экипаж автомобиля беззастенчиво наполнил бак бесплатным бензином, вдобавок захватив три большого бидона горючего, а также помпу и домкрат. После Удоева путешественники проехала еще 40 км.

Спрашивается: на каком расстоянии от города Арбатова оказался автомобиль?

Водитель «Антилопы» Козлевич, человек технического склада ума, сказал бы, что формулировка этой задачи является неполной, поскольку отсутствует указание на то, в каком направлении проехал автомобиль последние 40 км — в том же, в котором он уже проехал 50 км, или в совершенно противоположном. Ведь в первом случае автомобиль оказывается в 90 км от Арбатова, а во втором — в 10 км.

Таким образом, заключил бы Козлевич, для получения определенного ответа необходимо добавить к условиям задачи указание относительно направления движения «Антилопы» после остановки в городе Удоеве.

Согласившись с Козлевичем, Остап Бендер мог бы добавить, что аналогичным образом обстоит дело в любой задаче, связанной с движением точки по прямой. Иными словами говоря, если известно исходное положение точки, а также известна дливд отрезка, пройденного точкой, то нужно знать еще направление движения для того, чтобы установить конечное положение точки.

А что по этому поводу говорят наши школьные учителя?

Они говорят, что отрезок на прямой линии, для которого задана не только длина, но и направление, называется направленным отрезком, или вектором 2.

Направленный отрезок обозначается двумя буквами, соответствующими его началу и концу. При этом буква, обозначающая начало, ставится впереди буквы, обозначающей конец.